第12篇：深入解析五种属性与数学建模关键步骤（2023年3月9日原创）

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但是今天我们也要盖房子，也要掌握物理基础理论的地基。所以我们要格式化大脑，清空所有的这样那样的偏见和信息。源头是观测到的自然现象，方法就是数学工具，结果就是数学建模体系。

现在我们重新对包括天平、重量、自由落体运动和光的折射等多种自然现象进行数学建模，这里有很多我们没有发掘出来的信息。这个数学建模是一个漫长的过程，会涉及到很多问题。我们采用的方法是问题引导，一个问题一个问题的把数学建模引向深入。当然有时一个问题不解决，剩下的所有问题都解决不了。有时一个问题实在解不开，我们就被迫扔下不管，然后去解决其他问题。当把其他问题解决后，会发现之前的问题也迎刃而解。

在这个过程中，我们就能发现很多问题是有内在关联的，然后就能把这些关联方程找到。当然我们不可能把每个问题都大篇幅描述，只能选择性的描述在数学建模过程中比较重要和比较困难的几个问题。比如，学习数学的起点是1+1=2，这个等式涉及到了主体的界定问题，我们一定要清晰地知道代表物质主体的1+1为什么等于2，然后就能理解物质的绝对性和物质的数学模型。

比如，物质的重量和质量是两个不同的物理量，我们也需要清晰地知道这种不同性究竟是什么。重量代表的是物质的运动状态物理量，质量代表的是物质的存在状态物理量。只要理解了重量和质量，就几乎理解了所有物理量，因为所有的物理量都可以区分为存在状态物理量和运动状态物理量。存在状态物理量也可以理解为牛顿提出的物质的量，运动状态物理量也可以理解为牛顿提出的运动的量。

在数学建模的过程中，每一个数学结论和观测结果必然伴随着一个问题，回答了这个问题就会产生新的问题，回答了新的问题又会产生新的问题，这样就会获得很多串联的为什么。此时就遇到了“是什么”和“为什么”的问题，对“是什么”的回答，就是对主体和主体属性的界定。比如物质有重量和颜色，重量和颜色就是物质不同的属性。可物质为什么有重量和颜色，在回答这个问题之前，首先要知道重量和人的触觉有关，颜色和人的视觉有关，所以数学建模必须考虑人的因素，必须考虑人的观测，观测就会涉及到人的视觉原理和触觉原理，而视觉原理和触觉原理直接对应着已知物理量的问题。

逻辑思维的作用是探寻未知，但是这种探寻未知也是建立在已知物理量基础之上。很显然视觉需要光子和人的眼睛出现物质接触，触觉需要物质和人的身体出现物质接触，所以观测信息的获取需要物质和物质之间的接触。这说明观测本身就是一个光子接收事件或物质接触事件，这是需要进行严密数学建模的，我们获得的初始已知物理量也都来自于这种事件。

我们用近20年的时间完成了这项数学建模工作，然后把数学建模的过程也进行了归纳总结并获得了五种数学建模属性，分别是相同性和不同性、确定性和不确定性、绝对性和相对性、正确性和错误性、应用性和理论性，这五种属性环环相扣，形成了统一的整体。

这里简单看一看确定性和应用性，人一定会站在某种确定性基础之上研究不确定性，这就是人的主观世界的客观规律。无论是谁，只要得出了某个数学结论，那就一定能找到依据，这个依据就是确定性。确定性不一定是绝对性，因为依据还有依据，这就会涉及到物理量的判断层面。

在数学建模中，我们用N=am的基本方程来描述人的主观世界的客观规律，这个规律中包含了两个基础，分别是确定性的常量和运算规则。如果确定性的常量是真正的常量，而运算规则也是正确的，那么数学结论就是完全正确的，此时没有普通和特殊之分，属于绝对性的内容。如果确定性的常量只是因为另一个物理量是常量，这个数学结论就具有了适用范围，此时就需要写出范围方程，同时也会出现通常情况下和特殊情况下。也就是说，这个数学结论通常情况下是正确的，但是存在特殊情况，所以这个数学结论只能界定为定律而不能界定为公理。

比如前面提到的阿基米德的浮力故事，阿基米德依靠水解决了测量不规则物体体积的问题，也就是把体积V变成了已知物理量。我们都知道密度、重量和体积的基本方程 ，但不一定会考虑这个方程是有适用范围的。在地球上，质量m不变的情况下重量g是不变的，重量g不变并不代表体积V不变。

几万吨的轮船可以漂浮在海面上，使用的就是重量g不变基础上的体积V可变。然而还有一种情况，就是体积V不变而重量g改变。一个空心的铁球和一个实心的铁球，它们的外部体积V是相同的，但是重量g并不相同，由重量g和体积V计算获得的密度也是不同的。而我们使用的物质密度，都是以实心为前提的，这就是密度的适用范围。所以在计算物质密度之前，首先要判断物质是空心的还是实心的，缺少了这个判断，获得的数学结论就不一定正确。

可以看到，数学结论都有基础，这个基础就是基本方程中的常量，如果基础出现了漏洞，或者没有对基础进行更严格的审查，那么得出的数学结论很可能是错误的。换句话说，黄金做的皇冠不一定完全遵守密度、重量和体积的基本方程，只要皇冠的内部是空心的，这个方程就不正确。这已经涉及到了物质的内部空间，而这个判断解决的是数学计算中的体积V究竟是物质的外部体积还是真实体积的问题。

此时还要解决重量的问题，如果铁球处于失重状态，此时实心铁球的密度该怎么计算。我们还要考虑到质量m这个物理量出现在伽利略之后，在阿基米德时期还没有质量m这个物理量，从重量g到质量m是有一个发展过程的。在今天可以得到g=ma的重量基本方程，其中a是伽利略自由落体定律中的常量加速度。牛顿说物质的量是联合同一物质的密度和体积的度量，也就是的质量基本方程。体积V的问题阿基米德已经解决了，但是如果加速度a=0，此时物体处于失重状态，依据g=ma的重量基本方程，重量g=ma=m×0=0。此时重量g无法获得，代入到的基本方程中，密度也无法获得，总不能因为物体处于失重状态就代表没有密度吧。如果密度无法获得，再考虑到的质量基本方程，质量m又如何获得？这些问题都是在初中物理中就已经遇到的问题，不可能一直置之不理吧！

牛顿说运动的量是联合物体的速度和量的度量，如果质量无法获得，那包括重量在内的运动状态物理量该怎么获得。所以我们学习的物理知识很多内容都存在自循环的现象，这些方程大家都知道，也都会使用，但是不能提太多的为什么，只要问题多了，就会陷入自循环。

此时会出现两种感觉，第一种感觉就是完美，第二种感觉就是无奈，我们也在追求自循环，只是这种自循环要处在更底层的层面。在这两种感觉的作用下，随之而来的就是跳出思维怪圈并寻找突破。这说明到今天为止我们对质量、重量、密度、体积这些物理量的认知仍然存在大量模糊空间，此时必须跳出重量、体积、密度、质量的基本方程和数学关联，用新的数学模型重新构建物质的数学模型。所以，那些不考虑适用范围的内容就属于应用性，那些需要考虑适用范围的内容就属于理论性。

我们把数学建模的环节描述出来，才能方便寻找每个方程的适用范围。我们以为是在追求正确性和错误性，但是应用性的正确性和理论性的正确性是不同的。比如太阳东升西落现象，从应用的角度讲，就可以得出太阳东升西落的结论。这个结论属于确定的视觉观测结果，无论谁来观测都是这个结果，但是在探寻观测结果的产生原因时，却出现了两种可能性，分别是太阳绕地球的转动和地球的自转。从理论的角度讲，我们今天都知道太阳东升西落的主要原因是地球的自转。我们使用语言交流时，不会说今天地球又自转了一圈，只会说太阳东升西落了，我们通常是站在自身的角度以应用性为主而以理论性为辅。

很多内容知道观测结果就可以了，无论什么样的原因结果都是确定的，有了结果就可以实现应用。只有在应用中出现了无法解决的问题时，理论性的价值才能体现出来。而理论性最重要的内容，就是找到相同性和确定性，这个确定性就是基本方程N=am中的常量。我们不要小看常量的确定，这个内容看似简单实则极端复杂。很多时候我们使用的常量并非真正的常量，这些常量都属于确定性的常量，也就是由其他物理量组成的常量，我们要在大量的物理量中找到真正的常量。

当然，常量和变量也是一个时间问题，常量之所以是常量，是因为引入时间之后数值不变，所以才是常量。我们把常量描述为稳定性，这种稳定性来自于时间上的相同性，然后把这种相同性上升为确定性，把确定性上升为绝对性，这个绝对性就是真正的常量。如果确定性真的是绝对性，那么数学结论一定是正确的，也一定能对应上观测结果，如果确定性不是绝对性，那就需要具体问题具体分析。

有了这些内容，我们就可以把数学建模的各个环节展现出来：“在太阳系中-在地球上-人的存在和物体的存在-物体发射或反射光子-光子的运动-人的视觉和触觉感知-获得观测信息-人的记忆能力-信息的存储-信息的比较-发现相同性-上升为确定性-上升为绝对性-发现应用性和理论性-做好传承”。

这样的建模环节中，既有客观世界的内容，也有主观世界的内容，既有自然界的内容，也有人的内容，既有真实的内容，也有观测的内容。为了更加清晰准确地完成数学建模，每一个环节都需要构建数学变量。我们把相同性描述为客观世界的相同性，把确定性描述为主观世界的确定性。客观世界是不同的，但是不同中存在大量的相同性，我们可以通过大量使用比较法来获得客观世界的相同性。然后以客观世界的相同性为基础，归纳总结出主观世界的确定性。在确定性的基础上研究不确定性，就变成了使用基本方程N=am描述物理量正反比关系的数学题。